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Calcolo combinatorio



Il calcolo combinatorio si occupa di contare le modalit e
le configurazioni con cui si pu ordinare un insieme di elementi.
Caratteristiche importanti sono: la ripetizione di un oggetto e l'ordinamento della configurazione.

Permutazione semplice, ovvero senza ripetizioni

E' una sequenza ordinata in cui ogni oggetto viene presentato una sola volta.

Ad esempio:
Sono permutazioni semplici dell'insieme di elementi A, B, C e D:
ABCD
BACD
CABC
...

La formula che esprime quante permutazioni semplici sono contemplate per un insieme di elementi :
Pn = n! = n(n-1)(n-2)...1
dove n indica il numero di oggetti dell'insieme.

Nell'esempio di prima:
insieme di 4 elementi, per cui:
P4 = 4! = 4⋅3⋅2⋅1 = 24

Permutazioni con ripetizioni

E' una sequenza ordinata di un insieme che presenta elementi ripetuti pi volte.

Ad esempio:
Calcolare il numero di anagrammi possibili della parola CASA
CASA
AASC
SCAA
SACA
...

La formula che esprime quante permutazioni con ripetizione sono contemplate per un insieme di elementi : P n ; k 1 , k 2 , ..., k n = n ! k 1 ! k 2 ! ... k n ! Dove 'n' il numero di oggetti dell'insieme,
'k1' il numero di ripetizioni dell'oggetto 1,
'k2' il numero di ripetizioni dell'oggetto 2, ... e cos via.

Esempio A: anagrammi di 'CASA' P 4 ; 1 , 2 , 1 = 4 ! 1 ! 2 ! 1 ! = 4 3 2 1 1 2 1 1 = 4 3 = 12
Esempio B: anagrammi di 'FARFALLA' P 8 ; 2 , 3 , 1,2 = 8 ! 2 ! 3 ! 1 ! 2 ! = 8 7 6 5 4 3 2 1 2 1 3 2 1 1 2 1 = 8 7 6 5 = 1680


Disposizioni semplici

Le disposizioni sono i sottoinsiemi ordinati (conta l'ordine!)
in cui puoi suddividere l'insieme di oggetti considerato.
Sono semplici quando non c' ripetizione.

Ad esempio: Le disposizioni semplici di classe 2 dell'insieme A,B,C,D sono:
(A,B)
(B,A)
(A,C)
(C,A)
...

Il numero di disposizioni semplici di 'n' oggetti presi 'k' a 'k' :
Dn,k = n⋅(n-1)⋅...⋅(n-k+1)

Nell'esempio precedente quindi:
D4,2 = 4⋅3 = 12



Disposizioni con ripetizione

Le disposizioni sono i sottoinsiemi ordinati (conta l'ordine!)
in cui puoi suddividere l'insieme di oggetti considerato.
In questo caso contemplata la ripetizione.

Ad esempio: Le disposizioni con ripetizione di classe 2 dell'insieme A,B,C,D sono:

(A,A)
(A,B)
(B,A)
(B,B)
(C,A)
...

La disposizioni di n oggetti di classe k sono:
D'n,k = nk

Nell'esempio precedente quindi:
D'4,2 = 42 = 16

Combinazioni semplici

Le combinazioni sono i sottoinsiemi non ordinati (NON conta l'ordine!)
in cui puoi suddividere l'insieme di oggetti considerato.
Sono semplici quando non c' ripetizione.

Ad esempio: Le combinazioni semplici di classe 2 dell'insieme A,B,C,D sono:
(A,B)
(A,C)
(A,D)
(B,C)
(B,D)
(C,D)

La formula delle combinazioni semplici di n oggetti presi k a k : C n , k = D n , k P k = n ( n 1 ) ... ( n k + 1 ) k !
Nell'esempio precedente quindi: C 4 , 2 = D 4 , 2 P 2 = 4 3 2 ! = 12 2 1 = 6
Le combinazioni semplici si possono calcolare anche con il coefficiente binomiale: C n , k = n k = n ! k ! ( n k ) !
Combinazioni con ripetizione

Le combinazioni sono i sottoinsiemi non ordinati (NON conta l'ordine!)
in cui puoi suddividere l'insieme di oggetti considerato.
In questo caso contemplata la ripetizione.

Ad esempio: Le combinazioni con ripetizione di classe 2 dell'insieme A,B,C,D sono:
(A,B)
(A,C)
(A,D)
(B,C)
(B,D)
(C,D)
(A,A)
(B,B)
(C,C)
(D,D)

La formula delle combinazioni con ripetizione di n oggetti presi k a k : C ' n , k = ( n + k 1 ) ! k ! ( n 1 ) !
Nel nostro esempio infatti: C ' 4 , 2 = ( 4 + 2 1 ) ! 2 ! ( 4 1 ) ! = 5 ! 2 ! 3 ! = 5 4 3 2 1 2 1 3 2 1 = 5 4 2 = 20 2 = 10





Test su elementi di calcolo combinatorio

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compitoinclasse@virgilio.it